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=== 高斯波包 === 高斯波函數的動量與位置不確定性關係式的計算,是一個很有啟發性的練習。設定一個粒子的波函數<math>\psi(x)</math>是[[高斯函數]]: :<math>\psi(x) =\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4} e^{- {Ax^2 / 2}}</math>。 由於[[對稱性]],這粒子的位置期望值<math>\langle x\rangle</math>等於零。經過查閱積分手冊,位置標準差<math>\sigma_x</math>是 :<math>\sigma_x^2=\langle x^2 \rangle =\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/2} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{ - A x^2} \, \mathrm{d}x=\frac{1}{2A}</math>。 接下來,[[傅立葉變換]]高斯函數<math>\psi(x)</math>至波數空間的波函數<math>\phi(k)</math>: :<math>\begin{align}\phi(k) & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4} e^{- {A\over 2}x^2}e^{ - ikx} \, \mathrm{d}x \\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ - {A\over 2}(x + ik/A)^2 - {k^2/2A} } \, \mathrm{d}x \\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4}e^{-{k^2/2A}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{- {A\over 2}(x+ik/A)^2} \, \mathrm{d}x \\ \end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span> 為了要使得最右邊的積分跟波數<math>k</math>無關,做連續變數替換,<math>x\rightarrow x - ik/A </math>。那麼, :<math>\phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4}e^{-{k^2/2A}} \int_{-\infty + ik/A}^{\infty + ik/A} e^{- {A\over 2}x^2} \, \mathrm{d}x </math>。 由於這[[複平面]]的積分路徑的改變並沒有經過任何[[奇異點]],得到的積分跟<math>k</math>無關。查閱積分手冊,可以得到波數空間的波函數 :<math>\phi(k) =\left(\frac{1}{A\pi}\right)^{1/4}e^{- k^2/2A}</math>。 由於[[對稱性]],波數期望值<math>\langle k\rangle</math>等於零。經過查閱積分手冊,波數標準差<math>\sigma_k</math>是 :<math>\sigma_k^2=\left(\frac{1}{A\pi}\right)^{1/2} \int_{ - \infty}^{\infty} k^2 e^{ - k^2/A} \, \mathrm{d}k=\frac{A}{2}</math>。 根據[[德布羅意假說]],<math>p=\hbar k</math>。所以, :<math>\sigma_p^2=\frac{A\hbar^2}{2}</math>。 因此,可以得到位置和動量的不確定性關係式: :<math> \sigma_x \sigma_p = \sqrt{1\over 2A}\sqrt{ A\hbar^2\over 2} =\frac{\hbar}{2}</math>。 特別注意,由於波函數是高斯函數,這關係式很緊密,是個等號關係式。
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