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===導引=== 當兩個[[算符]]<math>\hat{A}</math>和<math>\hat{B}</math>作用於一個函數<math>\psi(x)</math>時,它們不一定會對易。例如,設定<math>\hat{B}</math>為乘以<math>x</math>,設定<math>\hat{A}</math>為對於<math>x</math>的導數。那麼, :<math>(\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}) \psi = \frac{d}{dx} ( x \psi) - x \frac{d}{dx} \psi = \psi</math>。 使用算符語言,可以表達為 :<math>{d\over dx} x - x {d\over dx} = 1</math>。 這例子很重要。因為,它很像量子力學的[[正則對易關係]]。特別地,[[位置]]<math>x</math>和[[動量]]<math>p</math>的正則對易關係是 :<math>[x,p]=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})= - i\hbar x\frac{d}{dx}+i\hbar\frac{d}{dx}x =i\hbar</math>。 在[[希爾伯特空間]]內,任意兩個[[態向量]]<math>|\alpha\rangle</math>和<math>|\beta\rangle</math>,必定滿足[[柯西-施瓦茨不等式]]: :<math>\langle\alpha|\alpha\rangle \langle\beta|\beta\rangle\ge|\langle\alpha|\beta\rangle|^2</math>。 限制算符<math>\hat{A}</math>和<math>\hat{B}</math>為[[厄米算符]]。它們所代表的都是[[可觀察量]]。設定 :<math>\alpha=\hat{A}\psi</math>, :<math>\beta=\hat{B}\psi</math>。 那麼,按照[[柯西-施瓦茨不等式]], :<math>\langle \hat{A}\psi|\hat{A}\psi\rangle \langle \hat{B}\psi|\hat{B}\psi\rangle\ge |\langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle|^2 </math>。 注意到任意[[複數]]的[[絕對值]][[平方]]必定大於或等於其[[虛數]]部分的絕對值平方: :<math>|\langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle|^2 \ge |\mathfrak{im}(\langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle)|^2 =\frac{1}{4} |2\ \mathfrak{im}(\langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle)|^2 </math>; 其中,<math>\mathfrak{im}</math>表示取右邊項目的虛數。 複數的虛數部分等於這複數與其[[共軛複數]]的差額除以<math>2i</math>: :<math>\mathfrak{im}(\langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle)=\frac{\langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle - \langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle^*}{2i}=\frac{\langle\psi|[A,B]|\psi\rangle}{2i}</math>。 從上述這三條公式,可以得到'''羅伯森-薛丁格關係式'''的一種形式: :<math>\langle A^2 \rangle \langle B^2 \rangle \ge \frac{1}{4}|\langle [A,B]\rangle|^2 </math>。 羅伯森-薛丁格不確定性關係式還不是不確定性原理的關係式。為了要求得不確定性原理的關係式,執行以下替換: :<math>A\to A - \langle A\rangle</math>, :<math>B\to B - \langle B\rangle</math>。 那麼, :<math>\langle ( A - \langle A\rangle)^2 \rangle \langle (B - \langle B\rangle)^2 \rangle \ge \frac{1}{4}|\langle [A - \langle A\rangle,B - \langle B\rangle]\rangle|^2=\frac{1}{4}|\langle [A,B]\rangle|^2 </math>。 定義[[標準差]]<math>\Delta X</math>為 :<math>\Delta X\ \stackrel{def}{=}\ \sqrt{\langle(X - \langle X\rangle)^2\rangle}=\sqrt{\langle X^2\rangle - \langle X\rangle^2}</math>。 標準差就是不確定性。任意兩個可觀察量的不確定性原理為 :<math>\Delta A\Delta B\ge\frac{1}{2}|\langle [A,B]\rangle|</math>。
摘要:
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